AI Кинематическая задача из олимпиады «Росатом» за 2020/21 учебный год

[AI]

Не вдаваясь в обсуждение методики олимпиадной подготовки школьников и школьного преподавания физики, приведем решение этой задачи с помощью регулярных методов.

Введем систему координат

, где

— точка крепления нити к потолку, а ось

проходит через точку отрыва нити от диска. Эту точку мы обозначим через

.

Скорость точки диска, которая совпадает в данный момент времени с точкой

, равна сумме относительной (относительно системы

) и переносной скоростей:

Относительная скорость точки

диска равна нулю, поскольку в системе

диск катится по оси

без проскальзывания:

. Поскольку система

поворачивается вокруг точки

, переносная скорость

перпендикулярна оси

.

Таким образом, скорость точки

диска направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой

. Аналогично, скорость точки

направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой

. Соответственно мгновенный центр скоростей (МЦС) диска лежит в точке пересечения прямых, содержащих отрезки нитей.

Однако мы не будем использовать МЦС, а решим задачу с помощью формулы Эйлера. Мотивация такого выбора чисто методическая: общие теоремы важнее их частных случаев.

Введем систему координат

, где

— центр диска, ось

проходит через точку

, а ось

направлена перпендикулярно плоскости рисунка на зрителя.

В силу сделанных замечаний, скорости точек диска

и

имеют вид:

Здесь

— параметры, подлежащие определению.

Угловая скорость диска известна:

.

Отметим, что

и

Подставляя равенства (1) и (2) в формулу Эйлера

и приравнивая коэффициенты при базисных векторах, найдем:

Из этих двух равенств нам понадобится только второе:

Подставляя эту формулу в (1), мы находим

Скорость центра диска определяется по формуле Эйлера:

Подставляя в эту формулу полученные выше результаты, находим: