- Регистрация
- 23 Август 2023
- Сообщения
- 2 814
- Лучшие ответы
- 0
- Реакции
- 0
- Баллы
- 51
Offline
В 1876 году Питер Гатри Тейт предложил измерять то, что он называл «запутанностью» узлов.
Шотландский математик, во многом предвосхитивший современную теорию узлов, искал практический способ отличать один узел от другого — задача, мягко говоря, непростая. В математике узел — это замкнутая верёвка без свободных концов. Два узла считают одинаковыми, если их можно плавно деформировать — тянуть, крутить — не разрезая, так чтобы один превратился в другой. По одному лишь рисунку понять это трудно: узел, выглядящий «страшно» сложным, может оказаться той же самой простой окружностью.
Тейт предложил такой критерий различия. Разложим узел на плоскости и посмотрим на точки самопересечения. В одной из таких точек «перевернём» пересечение: мысленно разрежем, поменяем местами верхнюю и нижнюю нити и снова «склеим». Повторяя операцию столько раз, сколько нужно, можно получить незавязанный круг. Минимальное число таких «переворотов» он назвал мерой незавязанности — сегодня это известно как число развязывания узла.
Если у двух узлов эти числа различаются, значит, узлы точно не эквивалентны. Однако вскоре Тейт понял, что введённая им величина рождает больше новых загадок, чем снимает старых.
«Я так увлёкся этой темой, — писал он в письме другу, физику Джеймсу Клерку Максвеллу, — что боюсь либо что-то упустить, либо, наоборот, переоценить то, что любому другому покажется слишком простым».
Если Тейт чего-то недоглядел, то не он один: вот уже полтора века число развязывания ставит теоретиков узлов в тупик. Известно, что по идее оно должно полностью характеризовать узел — «возможно, самая базовая мера», как говорит Сьюзан Хермиллер из Небраски. Но на практике это число часто невероятно трудно вычислить, и его связь с «сложностью» узла неочевидна.
Чтобы прорваться в понимании, в начале XX века математики выдвинули простую гипотезу о том, как ведёт себя число развязывания при соединении двух узлов (их сумме). Докажи её — и появится универсальный способ находить это число для любого узла, то есть простой, конкретный «измеритель» сложности.
Шотландский физик и математик Питер Гатри Тейт начал систематическое изучение того, что впоследствии стало одной из важнейших проблем теории узлов: классификации узлов.
Почти сто лет искали доказательство — и безуспешно: ни подтверждений, ни опровержений.
И вот в июньской работе Хермиллер и её соавтор Марк Бриттенхэм нашли пару узлов, чья сумма развязывается легче, чем предсказывала гипотеза. Значит, гипотеза неверна. Более того, их пример позволил построить бесконечно много других контрпримеров.
«Когда статья вышла, я буквально ахнула», — сказала Эллисон Мур из Университета Содружества Виргинии. По её словам, результат показывает, что число развязывания ведёт себя «капризно и непредсказуемо», и тема явно далека от полного понимания.
Развязывание узлов и великая неизвестность
Ещё как минимум с 1937 года немецкий математик Хильмар Вендт пытался понять, что происходит, когда два узла «складывают» — берут одну и ту же верёвку, завязывают в ней оба узла и затем замыкают концы. Такой объект называют суммой узлов. Вендт выдвинул догадку: число развязывания у суммы должно равняться сумме чисел развязывания исходных узлов.
На интуитивном уровне это звучит разумно. Пусть у левого узла число развязывания 2, у правого — 3. Значит, есть последовательность из двух изменений пересечений, которая развязывает левую часть, и последовательность из трёх — для правой. Если выполнить их подряд, весь комбинированный узел распутается за 2+3=5 шагов.
Однако из этого следует лишь верхняя оценка: число развязывания суммы не больше 5. Может оказаться, что найдётся более хитрая последовательность изменений, которая распутает весь узел быстрее, чем «по частям». Иными словами, сумма узлов способна иметь число развязывания меньше, чем сумма чисел её составляющих.
Чтобы подтвердить аддитивность, нужно было либо найти пример суммы узлов, которая распутывается быстрее, чем «по частям», либо доказать, что такого примера не бывает. И вот тут все застревали — непонятно, с чего вообще начинать.
Одна из причин: узел на плоскости задаётся диаграммой, а у одного и того же узла их может быть бесчисленно много. От выбора диаграммы зависит, где именно расположены пересечения. Чтобы получить самую короткую последовательность «переворотов» пересечений, нередко надо сначала подобрать подходящую диаграмму — и это далеко не всегда привычное изображение узла.
«Способов видоизменить диаграмму до применения изменения пересечения — немыслимо много, — говорит Марк Бриттенхэм. — По крайней мере на старте мы вовсе не контролируем, насколько сложной окажется нужная схема».
В 1985 году Мартин Шарлеманн сделал первый ощутимый шаг: он доказал, что если у обоих узлов число развязывания равно 1, то у их суммы оно всегда равно 2. «Это сильно повысило правдоподобие всей гипотезы», — отмечает Чарльз Ливингстон из Университета Индианы.
Сьюзан Хермиллер (слева) и Марк Бриттенхэм опровергли гипотезу о узлах, выдвинутую несколько десятилетий назад, что усложнило понимание этих, казалось бы, простых объектов для математиков.
Итоги тех работ вселяли надежду, что «мир узлов» поддаётся упорядочению. Дело в том, что любой узел можно собрать из меньшего набора базовых, «простых» узлов. А если гипотеза аддитивности верна, то, зная числа развязывания для этих простых кирпичиков, мы автоматически знаем их для всех составных узлов: нужные сведения как бы «перетекают» из малого набора данных ко всем объектам.
«Мы очень хотели, чтобы гипотеза оказалась правильной, — отмечает Арунима Рэй из Мельбурна, — ведь это означало бы, что в этой области царит порядок».
Позднее результат Шарлеманна удалось распространить на ещё несколько семейств узлов, но оставалось непонятно, охватывает ли он вообще все случаи. Тогда Бриттенхэм и Хермиллер подключили вычислительную мощь — задействовали несколько компьютеров и перешли к масштабным переборам.
Скрытый интернет
Около десяти лет назад Хермиллер и Бриттенхэм запустили большой проект: с помощью вычислений собрать максимум сведений о числе развязывания.
Для этого они использовали программу SnapPy, которая с опорой на тонкие геометрические методы проверяет, соответствуют ли две диаграммы одному и тому же узлу. За несколько лет база SnapPy сильно выросла и научилась распознавать почти 60 000 различных узлов — как раз то, что им было нужно.
Их подход был таким: взять один сложный узел и по очереди выполнить все возможные изменения пересечений, получая целое семейство новых узлов. Затем с помощью SnapPy определить каждый из них — и повторить процедуру снова.
Так они обработали миллионы диаграмм, охватывающих сотни тысяч узлов, собрав огромный банк данных о последовательностях «развязываний» и вычислив верхние оценки числа развязывания для тысяч случаев. Проект требовал серьёзных ресурсов: учёные подключились к суперкомпьютерам Университета Небраски, а ещё запускали код на подержанных ноутбуках, купленных на аукционах. В итоге управляли десятками машин. «У нас получилась почти домашняя вычислительная сеть, — вспоминает Бриттенхэм, — где данные буквально переносили с компьютера на компьютер, шагая между ними».
Тейт составил таблицу узлов и описал их свойства. Эта страница взята из статьи 1885 года.
Десять с лишним лет их программа крутилась на фоне. За это время некоторые из разношёрстных компьютеров перегревались и даже воспламенялись. «Один искрил, — вспоминает Бриттенхэм. — Было забавно». (В итоге всех «ветеранов» почтенно списали.)
Осенью 2024-го внимание Бриттенхэма и Хермиллер привлекла статья о неудачной попытке опровергнуть аддитивность с помощью машинного обучения. Они решили, что для такой задачи ML — не лучший инструмент: если контрпример и существует, это настоящая «иголка в стоге сена», а машинное обучение умеет скорее вылавливать закономерности, чем штучные редкости. Зато эта работа укрепила их в мысли, что их собственная, продуманная вычислительная сеть как раз и может найти такую иголку.
Узлы, которые «связывают»
Исследователи догадались использовать собранные ими последовательности развязывания, чтобы охотиться за возможными контрпримерами к аддитивности.
Представьте два узла с числами развязывания 2 и 3; мы рассматриваем их сумму. Сделав одно изменение пересечения, получаем «промежуточный» узел. Если верна аддитивность, исходная сумма должна требовать 5 шагов, а у нового, после первого шага, должно остаться 4.
Но если уже известно, что этот промежуточный узел развязывается за 3 шага, значит, исходную сумму можно распутать за 4, а не за 5 — и гипотеза рушится.
«У нас есть эти промежуточные узлы, — говорит Бриттенхэм. — Чему они могут нас научить?»
И тут как нельзя кстати пригодилась их десятилетняя база: огромный каталог верхних оценок числа развязывания для тысяч узлов, уже работающий на их ноутбуках.
Учёные стали попарно «складывать» узлы и искать кратчайшие последовательности их развязывания. Приоритет отдали тем суммам, для которых известны лишь грубые оценки — с большим разрывом между нижней и верхней границами числа развязывания. Даже так перечень кандидатов оказался колоссальным — «десятки миллионов, а то и сотни миллионов», по словам Бриттенхэма.
Несколько месяцев их программа последовательно меняла пересечения, а получившиеся узлы сверяла с собственной базой. И вот поздней весной Бриттенхэм, как обычно, заглянул в выходные файлы — и увидел строку: «Сумма соединений нарушена». Это сообщение они предусмотрели в коде на случай контрпримера, но не рассчитывали когда-нибудь его увидеть.
Сначала они не поверили. «Первая мысль — у нас ошибка в программе», — вспоминает Бриттенхэм. «Мы бросили всё, — говорит Хермиллер. — Еда и сон только мешали».
Однако проверка показала: всё верно. Они даже завязали на верёвке соответствующий узел и вручную распутали его — для полной уверенности.
Контрпример оказался настоящим.
Контрпример, найденный Бриттенхэмом и Хермиллер, — это сумма двух копий торового узла T(2,7). Такой узел можно получить, если две пряди сделать с семью полуперекрутами (то есть обернуть их друг вокруг друга три с половиной раза) и затем замкнуть концы; зеркальный вариант получается, если «закручивать» в противоположную сторону.
И у T(2,7), и у его зеркального отражения число развязывания равно 3. Но их сумма, как показала программа исследователей, распутывается не за 6 шагов, как предсказывала аддитивность, а всего за 5 — то есть быстрее, чем ожидалось.
«Контрпример удивительно простой, — отмечает Мур. — Всё упирается в непредсказуемость одного-единственного шага — изменения пересечения».
На основе находки Бриттенхэм и Хермиллер построили бесконечное семейство новых контрпримеров — фактически охватив почти все узлы, получаемые наматыванием двух нитей с последующим склеиванием.
Раз гипотезу аддитивности окончательно опровергли, перед теорией узлов открывается целая полоса новых вопросов и направлений. Некоторых это огорчает: структуры в «мире узлов» оказалось меньше, чем хотелось. «Число развязывания ведёт себя не так хорошо, как мы надеялись», — говорит Рэй. «Немного грустно».
Но вместе с тем интрига только растёт. «Похоже, теория узлов куда более запутанна и богата неизвестным, чем мы думали ещё совсем недавно», — говорит Ливингстон.
Пока непонятно, в чём именно эта дополнительная сложность. Тщательно изучив свой пример, Бриттенхэм и Хермиллер так и не смогли объяснить, почему именно он ломает аддитивность, тогда как другие — нет. Разобравшись с этим, математики, возможно, поймут, что делает одни узлы «сложнее», а другие — проще.
«Я до сих пор не могу ответить на этот, казалось бы, простой вопрос о числе развязывания, — признаётся Мур. — И это лишь подогревает интерес».
Шотландский математик, во многом предвосхитивший современную теорию узлов, искал практический способ отличать один узел от другого — задача, мягко говоря, непростая. В математике узел — это замкнутая верёвка без свободных концов. Два узла считают одинаковыми, если их можно плавно деформировать — тянуть, крутить — не разрезая, так чтобы один превратился в другой. По одному лишь рисунку понять это трудно: узел, выглядящий «страшно» сложным, может оказаться той же самой простой окружностью.
Тейт предложил такой критерий различия. Разложим узел на плоскости и посмотрим на точки самопересечения. В одной из таких точек «перевернём» пересечение: мысленно разрежем, поменяем местами верхнюю и нижнюю нити и снова «склеим». Повторяя операцию столько раз, сколько нужно, можно получить незавязанный круг. Минимальное число таких «переворотов» он назвал мерой незавязанности — сегодня это известно как число развязывания узла.
Если у двух узлов эти числа различаются, значит, узлы точно не эквивалентны. Однако вскоре Тейт понял, что введённая им величина рождает больше новых загадок, чем снимает старых.
«Я так увлёкся этой темой, — писал он в письме другу, физику Джеймсу Клерку Максвеллу, — что боюсь либо что-то упустить, либо, наоборот, переоценить то, что любому другому покажется слишком простым».
Если Тейт чего-то недоглядел, то не он один: вот уже полтора века число развязывания ставит теоретиков узлов в тупик. Известно, что по идее оно должно полностью характеризовать узел — «возможно, самая базовая мера», как говорит Сьюзан Хермиллер из Небраски. Но на практике это число часто невероятно трудно вычислить, и его связь с «сложностью» узла неочевидна.
Чтобы прорваться в понимании, в начале XX века математики выдвинули простую гипотезу о том, как ведёт себя число развязывания при соединении двух узлов (их сумме). Докажи её — и появится универсальный способ находить это число для любого узла, то есть простой, конкретный «измеритель» сложности.
Шотландский физик и математик Питер Гатри Тейт начал систематическое изучение того, что впоследствии стало одной из важнейших проблем теории узлов: классификации узлов.
Почти сто лет искали доказательство — и безуспешно: ни подтверждений, ни опровержений.
И вот в июньской работе Хермиллер и её соавтор Марк Бриттенхэм нашли пару узлов, чья сумма развязывается легче, чем предсказывала гипотеза. Значит, гипотеза неверна. Более того, их пример позволил построить бесконечно много других контрпримеров.
«Когда статья вышла, я буквально ахнула», — сказала Эллисон Мур из Университета Содружества Виргинии. По её словам, результат показывает, что число развязывания ведёт себя «капризно и непредсказуемо», и тема явно далека от полного понимания.
Ещё как минимум с 1937 года немецкий математик Хильмар Вендт пытался понять, что происходит, когда два узла «складывают» — берут одну и ту же верёвку, завязывают в ней оба узла и затем замыкают концы. Такой объект называют суммой узлов. Вендт выдвинул догадку: число развязывания у суммы должно равняться сумме чисел развязывания исходных узлов.
На интуитивном уровне это звучит разумно. Пусть у левого узла число развязывания 2, у правого — 3. Значит, есть последовательность из двух изменений пересечений, которая развязывает левую часть, и последовательность из трёх — для правой. Если выполнить их подряд, весь комбинированный узел распутается за 2+3=5 шагов.
Однако из этого следует лишь верхняя оценка: число развязывания суммы не больше 5. Может оказаться, что найдётся более хитрая последовательность изменений, которая распутает весь узел быстрее, чем «по частям». Иными словами, сумма узлов способна иметь число развязывания меньше, чем сумма чисел её составляющих.
Чтобы подтвердить аддитивность, нужно было либо найти пример суммы узлов, которая распутывается быстрее, чем «по частям», либо доказать, что такого примера не бывает. И вот тут все застревали — непонятно, с чего вообще начинать.
Одна из причин: узел на плоскости задаётся диаграммой, а у одного и того же узла их может быть бесчисленно много. От выбора диаграммы зависит, где именно расположены пересечения. Чтобы получить самую короткую последовательность «переворотов» пересечений, нередко надо сначала подобрать подходящую диаграмму — и это далеко не всегда привычное изображение узла.
«Способов видоизменить диаграмму до применения изменения пересечения — немыслимо много, — говорит Марк Бриттенхэм. — По крайней мере на старте мы вовсе не контролируем, насколько сложной окажется нужная схема».
В 1985 году Мартин Шарлеманн сделал первый ощутимый шаг: он доказал, что если у обоих узлов число развязывания равно 1, то у их суммы оно всегда равно 2. «Это сильно повысило правдоподобие всей гипотезы», — отмечает Чарльз Ливингстон из Университета Индианы.
Сьюзан Хермиллер (слева) и Марк Бриттенхэм опровергли гипотезу о узлах, выдвинутую несколько десятилетий назад, что усложнило понимание этих, казалось бы, простых объектов для математиков.
Итоги тех работ вселяли надежду, что «мир узлов» поддаётся упорядочению. Дело в том, что любой узел можно собрать из меньшего набора базовых, «простых» узлов. А если гипотеза аддитивности верна, то, зная числа развязывания для этих простых кирпичиков, мы автоматически знаем их для всех составных узлов: нужные сведения как бы «перетекают» из малого набора данных ко всем объектам.
«Мы очень хотели, чтобы гипотеза оказалась правильной, — отмечает Арунима Рэй из Мельбурна, — ведь это означало бы, что в этой области царит порядок».
Позднее результат Шарлеманна удалось распространить на ещё несколько семейств узлов, но оставалось непонятно, охватывает ли он вообще все случаи. Тогда Бриттенхэм и Хермиллер подключили вычислительную мощь — задействовали несколько компьютеров и перешли к масштабным переборам.
Скрытый интернет
Около десяти лет назад Хермиллер и Бриттенхэм запустили большой проект: с помощью вычислений собрать максимум сведений о числе развязывания.
Для этого они использовали программу SnapPy, которая с опорой на тонкие геометрические методы проверяет, соответствуют ли две диаграммы одному и тому же узлу. За несколько лет база SnapPy сильно выросла и научилась распознавать почти 60 000 различных узлов — как раз то, что им было нужно.
Их подход был таким: взять один сложный узел и по очереди выполнить все возможные изменения пересечений, получая целое семейство новых узлов. Затем с помощью SnapPy определить каждый из них — и повторить процедуру снова.
Так они обработали миллионы диаграмм, охватывающих сотни тысяч узлов, собрав огромный банк данных о последовательностях «развязываний» и вычислив верхние оценки числа развязывания для тысяч случаев. Проект требовал серьёзных ресурсов: учёные подключились к суперкомпьютерам Университета Небраски, а ещё запускали код на подержанных ноутбуках, купленных на аукционах. В итоге управляли десятками машин. «У нас получилась почти домашняя вычислительная сеть, — вспоминает Бриттенхэм, — где данные буквально переносили с компьютера на компьютер, шагая между ними».
Тейт составил таблицу узлов и описал их свойства. Эта страница взята из статьи 1885 года.
Десять с лишним лет их программа крутилась на фоне. За это время некоторые из разношёрстных компьютеров перегревались и даже воспламенялись. «Один искрил, — вспоминает Бриттенхэм. — Было забавно». (В итоге всех «ветеранов» почтенно списали.)
Осенью 2024-го внимание Бриттенхэма и Хермиллер привлекла статья о неудачной попытке опровергнуть аддитивность с помощью машинного обучения. Они решили, что для такой задачи ML — не лучший инструмент: если контрпример и существует, это настоящая «иголка в стоге сена», а машинное обучение умеет скорее вылавливать закономерности, чем штучные редкости. Зато эта работа укрепила их в мысли, что их собственная, продуманная вычислительная сеть как раз и может найти такую иголку.
Узлы, которые «связывают»
Исследователи догадались использовать собранные ими последовательности развязывания, чтобы охотиться за возможными контрпримерами к аддитивности.
Представьте два узла с числами развязывания 2 и 3; мы рассматриваем их сумму. Сделав одно изменение пересечения, получаем «промежуточный» узел. Если верна аддитивность, исходная сумма должна требовать 5 шагов, а у нового, после первого шага, должно остаться 4.
Но если уже известно, что этот промежуточный узел развязывается за 3 шага, значит, исходную сумму можно распутать за 4, а не за 5 — и гипотеза рушится.
«У нас есть эти промежуточные узлы, — говорит Бриттенхэм. — Чему они могут нас научить?»
И тут как нельзя кстати пригодилась их десятилетняя база: огромный каталог верхних оценок числа развязывания для тысяч узлов, уже работающий на их ноутбуках.
Учёные стали попарно «складывать» узлы и искать кратчайшие последовательности их развязывания. Приоритет отдали тем суммам, для которых известны лишь грубые оценки — с большим разрывом между нижней и верхней границами числа развязывания. Даже так перечень кандидатов оказался колоссальным — «десятки миллионов, а то и сотни миллионов», по словам Бриттенхэма.
Несколько месяцев их программа последовательно меняла пересечения, а получившиеся узлы сверяла с собственной базой. И вот поздней весной Бриттенхэм, как обычно, заглянул в выходные файлы — и увидел строку: «Сумма соединений нарушена». Это сообщение они предусмотрели в коде на случай контрпримера, но не рассчитывали когда-нибудь его увидеть.
Сначала они не поверили. «Первая мысль — у нас ошибка в программе», — вспоминает Бриттенхэм. «Мы бросили всё, — говорит Хермиллер. — Еда и сон только мешали».
Однако проверка показала: всё верно. Они даже завязали на верёвке соответствующий узел и вручную распутали его — для полной уверенности.
Контрпример оказался настоящим.
Контрпример, найденный Бриттенхэмом и Хермиллер, — это сумма двух копий торового узла T(2,7). Такой узел можно получить, если две пряди сделать с семью полуперекрутами (то есть обернуть их друг вокруг друга три с половиной раза) и затем замкнуть концы; зеркальный вариант получается, если «закручивать» в противоположную сторону.
И у T(2,7), и у его зеркального отражения число развязывания равно 3. Но их сумма, как показала программа исследователей, распутывается не за 6 шагов, как предсказывала аддитивность, а всего за 5 — то есть быстрее, чем ожидалось.
«Контрпример удивительно простой, — отмечает Мур. — Всё упирается в непредсказуемость одного-единственного шага — изменения пересечения».
На основе находки Бриттенхэм и Хермиллер построили бесконечное семейство новых контрпримеров — фактически охватив почти все узлы, получаемые наматыванием двух нитей с последующим склеиванием.
Раз гипотезу аддитивности окончательно опровергли, перед теорией узлов открывается целая полоса новых вопросов и направлений. Некоторых это огорчает: структуры в «мире узлов» оказалось меньше, чем хотелось. «Число развязывания ведёт себя не так хорошо, как мы надеялись», — говорит Рэй. «Немного грустно».
Но вместе с тем интрига только растёт. «Похоже, теория узлов куда более запутанна и богата неизвестным, чем мы думали ещё совсем недавно», — говорит Ливингстон.
Пока непонятно, в чём именно эта дополнительная сложность. Тщательно изучив свой пример, Бриттенхэм и Хермиллер так и не смогли объяснить, почему именно он ломает аддитивность, тогда как другие — нет. Разобравшись с этим, математики, возможно, поймут, что делает одни узлы «сложнее», а другие — проще.
«Я до сих пор не могу ответить на этот, казалось бы, простой вопрос о числе развязывания, — признаётся Мур. — И это лишь подогревает интерес».
Подписывайтесь на телеграм-канал "Математика не для всех"
